Récapitulatif des bonus

Les notions d'espérance de gain et de cotes sont absolument fondamentales au poker.

Commençons d'abord par définir la notion d'espérance de gain.
Considérons la situation suivante: vous jouez au no limit hold'em, en tête à tête ("heads up" diront les anglo saxons) contre un joueur dont, pour une raison ou une autre, vous savez qu'il fera tapis avant le flop, d'un coup, avec n'importe quelle paire comprise entre 66 et 10.10.
Vous êtes de petite blinde (0,50€) et recevez .
Vous et votre adversaire avez 50€ de tapis.
Vous relancez à 3€. La grosse blinde se tape (=va tapis).
Vous savez qu'il n'a pas vraiment un bon jeu et qu'il suffit que le tableau contienne un as pour que vous gagniez. Il y a aussi cette petite probabilité de toucher une couleur.
Alors vous suivez.
Votre adversaire montre , conformément à ce que vous attendiez.
Le tableau est .......
Vous remportez un pot de 100€.
En fait, vous avez perdu de l'argent en jouant ainsi!
Un évaluateur de main (j'en mettrai un en ligne dès que j'aurai fini de le programmer) vous dirait que, sur 100 cas, vous gagneriez 33,5 fois, perdriez 66 fois et partageriez le pot 0,5 fois (par exemple lorsque le tableau contient 5 piques).
Sur 100 mains, en moyenne, vous auriez donc gagné 33,5 x (pot de 100€ - les 47€ de votre call) + 0,5 x (0,5x100-47) - 66 x 47= -1.191€.
Sur le long terme, tout se passe comme si vous aviez perdu 1191/100=11,91€ à chaque fois que vous aviez suivi sa relance!
Comparativement, si vous vous couchez, vous ne perdez rien.
Si vous voulez connaître votre perte globale sur cette main (c'est-à-dire à chaque fois que vous recevez et que votre adversaire a une paire comprise entre 6 et 10), alors elle est de 3€ si vous relancez et vous couchez sur la sur-relance à tapis de votre adversaire (parce que vous être désormais certain qu'il a une meilleure main que vous) mais elle est de 14,91€ si vous relancez à 3€ et suivez son tapis.

On peut comparer cette situation à un jeu de pile ou face.
Un ami vous propose le marché suivant: il lance une pièce, s'il fait pile, vous lui donnez 2€, s'il fait face, il vous en donne 1. Vous allez bien sûr refuser cette offre, sans forcément comprendre le principe d'espérance mathématique mais simplement en vous disant que chacun ayant la même chance de gagner, chacun devrait risquer la même somme.
C'est cette idée qui est au centre du calcul des cotes au poker: pour accepter de jouer un coup, la somme que vous espérez gagner doit être liée à la probabilité que vous avez de remporter ce coup.
Dans le cas du pile ou face, si vous jouez avec une pièce faussée qui fera pile 2 fois sur 3, cela ne posera pas plus de problème. Il suffit que vous obteniez de votre adversaire qu'il vous paye deux fois plus quand vous gagnerez que ce que vous lui donnerez lorsque vous perdrez.
Il gagnera 2 fois sur 3, vous 1 fois sur 3. Donc, votre adversaire gagnant 2 fois plus souvent que vous, vous devez être payé 2 fois plus que lui lorsque vous gagnerez pour que le jeu en vaille la chandelle.
Si vous êtes payé 2,5 fois plus, alors le jeu est clairement gagnant pour vous sur le long terme. Peu importe que l'adversaire soit chanceux et commence par faire 5 face de suite, si vous obtenez de pouvoir jouer aussi longtemps que vous le voulez alors vous serez gagnant au final, d'en moyenne 0,17€ par lancer.
Comment ai je obtenu ces 0,17€?
C'est tout simple. Il s'agit de l'espérance mathématique de la variable "Mon gain si je joue à pile ou face". Cette variable est aléatoire, c'est-à-dire que sa valeur, à un moment donné, n'est pas prévisible. Vous jouez une fois et perdez, cette variable vaut -1€. Vous rejouez une fois et vous gagnez, cette variable vaut +2,5€.
Son espérance mathématique est la valeur moyenne que prend cette variable. C'est la constante x telle que, pour chacun des joueurs, les deux propositions suivantes sont équivalentes sur le long terme:

1.Dans un jeu où le joueur A a une probabilité d'1 sur 3 de gagner, A reçoit 2,5€ lorsqu'il gagne et paye 1€ lorsqu'il perd.
2.Quelque soit l'issue de la partie, A reçoit directement de B une somme constante égale à x.

Dans un jeu disposant d'un nombre fini de possibilités (c'est le cas ici, il n'y a que deux issues possibles: A gagne ou B gagne), l'espérance mathématique est simplement égale à la somme, sur tous les cas possibles, du produit "probabilité du cas" x "valeur de la variable lorsque ce cas survient".
Ici, cela donne:
Espérance mathématique du gain de A= 1/3 (=probabilité que A gagne) x 2,5 + 2/3 x (-1)=0,17€.


Et le poker dans tout ça?
Etre un bon joueur de poker revient à ne jouer que les mains qui ont une espérance de gain positive et jouer d'une façon qui maximise l'espérance de gain de ces mains.

Par exemple, en NLHE, si vous savez que, quelque soit le montant dont vous relancez préflop, votre adversaire vous suivra, alors faire tapis préflop avec les as est la stratégie qui maximisera votre espérance de gain pour cette main.
De même, si vous savez que, quelque soit sa main, votre adversaire fera tapis préflop dans un pot quasiment vide, alors la stratégie optimale lorsque vous recevez une main médiocre comme est de la coucher directement.


Comment faire pour prendre la bonne décision dans un cas moins trivial?

Tout d'abord, vous commencez par estimer la main de votre adversaire ou au moins votre situation par rapport à lui: avez vous besoin d'améliorer votre main pour le battre ou avez vous déjà la meilleure main?
Ensuite, vous prenez en compte la probabilité de remporter le coup et le couple (gain en cas de victoire, perte en cas de défaite). Ce couple déterminera ce qu'on appelle les côtes offertes par le pot.

Exemple:
Préflop, UTG (=le premier joueur à parler, celui qui est juste après la grosse blinde) relance à 4€.
Deux personnes suivent.
Vous êtes sur le bouton avec et décidez de suivre.
Au début du coup, chaque joueur a 100€ devant lui.
Le relanceur est un joueur assez prévisible, il relance en effet très peu de mains dans cette position. Vous le mettez donc sur une grosse paire.
Vous suivez la relance, les blindes se couchent.
Le flop est , Pot=17,5€, 4 joueurs
Tout le monde check.
Turn=
Le raiser ouvre à 15€
Un joueur suit, un se couche.
Vous vous dites que, face à deux adversaires, dant un pot relancé préflop par un joueur peu agressif, il n'y a quasiment aucune chance que vous ayez la main gagnante pour le moment.
Toutefois, vous pensez remporter le coup si vous faites votre couleur sur la rivière.
Tout comme dans la partie de pile ou face avec la pièce faussée, vous devez déterminer deux choses pour savoir si vous acceptez de suivre: votre probabilité de gagner le coup et le couple (gain en cas de victoire, perte en cas de défaite).
9 cartes dans le paquet peuvent vous donner votre couleur (on parle de 9 outs, soit 9 chances de s'en sortir).
Or il y a 52-4-2=46 cartes inconnues.
Vous avez donc 9 chances sur 46 de faire votre couleur sur la rivière. Vous gagnerez 1 fois sur 5,1 (46/9).
Vous devez donc accepter de suivre s'il y a 4,1 fois plus à gagner qu'à perdre. Ce que vous allez perdre, ce sont les 15€ à payer pour voir la rivière (on suppose que si vous ne faites pas votre couleur sur la rivière, vous ne misez plus rien).
Ce que vous êtes "certain" de gagner si vous faites votre couleur, c'est 17,5+15+15=47,5€.
Or il faudrait gagner 4,1x15=61,5€ pour que le jeu en vaille la chandelle.
Donc, a priori, vous devriez vous coucher.
On dira que les cotes offertes par le pot (=montant du pot/mise à payer) sont inférieures aux cotes de votre main (=nb de fois où vous perdez/nb de fois où vous gagnez), soit ici 47,5/15=3,2 contre 1 < 4,1 pour 1.
Mais, si vous faites votre couleur sur la rivière, vous espérez bien gagner encore une mise supplémentaire. Le relanceur, peu aguerri, pourrait avoir du mal à coucher sa bonne main sur la rivière, voulant "vérifier" que vous avez bien la couleur.
Le premier suiveur peut d'autre part être sur un tirage à quinte (par exemple QJ) et la carte qui lui donne sa quinte pourrait bien vous donner aussi votre couleur, auquel cas vous pourriez lui prendre beaucoup d'argent (avec ou comme rivière).
Sur la rivière, le pot sera de 62,5€ si vous suivez. Vous pouvez bien espérer prendre encore une vingtaine d'euros au relanceur et bien plus si l'autre joueur fait sa quinte.
Vous pouvez alors, dans le calcul de la cote du pot, intégrer ces mises futures et dire que vous gagnerez au minimum 47,5+20=67,5€ si vous faites votre couleur, auquel cas le pot vous offrira une cote dite implicite (car intègre des mises futures) de 67,5/15=4,5 >4,1.
Dans ces conditions, vous devez suivre la mise de 15€ sur le tournant. Sur le long terme, cela vous rapportera de l'argent (sur 100 fois, vous gagnerez 19,6 fois 67,5€ et perdrez 80,4 fois 15€, soit un gain total de 117€, ce qui fait 1,2€ par call).
Un paramètre supplémentaire est à prendre en compte: il se pourrait bien que vous perdiez même si vous faites votre couleur!
Imaginons que le relanceur soit bien moins prévisible et puisse avoir en main.
Alors vous ne gagnerez que si la rivière est un trèfle autre que ou , soit seulement 7 outs.
La cote de votre main n'est donc plus que de 39/7=5,6 contre 1! (= vous avez 5,6 fois plus de chances de perdre que de gagner).
Pour que votre main mérite de suivre la mise sur le tournant, il va donc falloir que vous récupériez beaucoup plus d'argent sur la rivière (au moins 36,5€).
Il y a pire encore: ne pas avoir conscience qu'un de vos adversaires a un brelan et croire que vous avez la meilleure main lorsque la rivière vient ou .
Car alors, en faisant votre main, vous risquez de perdre non seulement les 15€ du call mais aussi le reste de votre tapis (81€) contre un full!
Si vous tenez compte de cela, vous obtenez la cote implicite inverse du pot.

Comme vous le voyez, le calcul des cotes n'est pas compliqué mathématiquement, la difficulté vient plutôt de l'estimation de la main de votre adversaire dont dépend le denombrement de vos outs.

Si le flop devient et que le tournant est toujours .
Alors vous êtes certain d'avoir la meilleure main sur le tournant.
Si vous pensez qu'un de vos adversaires a un brelan, alors il a un redraw contre vous (appelons cela un re-tirage). C'est à dire que, même si votre tirage (draw, en anglais) rentre, il lui reste la possibilité de rentrer un tirage encore meilleur (un full).
Un brelan aurait 10 outs contre votre couleur. De son point de vue, la cote de sa main est 36/10=3,6 contre 1.
Donc, si les deux joueurs checkent le turn, vous devez faire en sorte de miser suffisamment pour que la cote du pot soit insuffisante pour leur redraw.
Si vous estimez que les deux joueurs risquent de suivre votre mise, alors misez par exemple le pot (17,5€).
Chacun des deux suiveurs aura une cote du pot de 3 pour 1.
Si les 2 joueurs se couchent, alors vous aurez fait un gain net de 13,5€ sur cette main.
Si l'un deux suit avec un brelan et l'autre avec une main faible, et si vous avez la discipline de vous coucher si le brelan mise sur la rivière après avoir fait son full, alors sur cette main votre gain aura une espérance mathématique strictement supérieure à 13,5€. Simplement, il ne s'agit plus d'une constante mais d'une variante, vous gagnerez souvent un gros pot, et quelquefois vous en perdrez un, mais en moyenne cela fera un gain supérieur à 13,5€.

A chaque fois qu'un adversaire suit votre mise sans avoir de cotes suffisantes, vous augmentez votre gain sur le long terme sur cette main.
A chaque fois qu'un adversaire, alors qu'il a la meilleure main, mise trop peu pour couper vos cotes, alors vous diminuez votre perte sur le long terme sur cette main en suivant.


Quelques probabilités d'amélioration:
Chiffres tirés de Howard Lederer's Secrets To Holdem Poker

Texas Hold'Em
Nb d'outs	Type de tirage	Exemple	Sur le flop	Sur le turn
2	Paire en main qui doit faire brelan pour gagner		9%	5%
3	Paire qui doit frapper son acolyte		13%	7%
4	Tirage quinte par le ventre		18%	9%
5	Paire inférieure splittée avec un acolyte vivant	T5o VS AKo sur AcTd3s	20%	11%
6	2 cartes vivantes		24%	14%
8	Tirage à quinte bilatéral		32%	18%
9	Tirage couleur		37%	21%
12	Tirage couleur + 1 carte vivante		45%	27%
15	Tirage quinte bilatéral et couleur		54%	34%
21	Tirage quinte bilatéral et couleur + 2 cartes vivantes		67%	48%

Quelques exemples pour mieux comprendre:

1. Paire qui doit frapper son acolyte
Cela arrive lorsque vous et votre adversaire avez la meme paire, mais lui a un meilleur acolyte ou a une double paire , la deuxième paire étant inférieure à votre acolyte.
Vous n'avez alors que 3 outs, correspondant à votre acolyte. En effet, si vous améliorez votre paire en brelan, vous perdrez encore car votre adversaire aura lui aussi un brelan avec un meilleur acolyte ou un full.
Ex:
Vous=
Votre adversaire=
Flop=
On dit que votre main est dominée, vous devrez être chanceux pour l'emporter.

2.Paire inférieure splittée avec un acolyte vivant
Cela arrive lorsque vous avez une plus petite paire que votre adversaire mais si vous frappez votre acolyte ou triplez votre paire vous gagnez. Idem si votre adversaire a deux paires mais que votre acolyte est plus grand que chacune de ses cartes.
Ex:
Vous=
Votre adversaire=

Flop=
Cette fois vous avez 5 outs: 3 as et 2 dix.

C'est tout pour ce premier article. Il aura probablement semblé un peu "dense" aux débutants mais qu'ils se disent qu'avec l'habitude cela deviendra "simple".