Récapitulatif des bonus

Dans un tournoi avec rebuys autorisés, il est d'usage qu'à la fin de la période de rebuys chaque joueur puisse une dernière fois acheter des jetons supplémentaires, quelque soit l'état de son tapis (alors qu'à l'opposé le tournoi n'autorise généralement le rebuy que lorsque le tapis du joueur a franchi à la baisse un certain seuil: ce peut être zéro -le joueur doit perdre tous ses jetons pour racheter une cave- comme ce peut être la cave initiale -comme sur pokerstars-).
Cette option s'appelle add on.
Pour un coût en général égal à celui de la première cave (hors frais de tournois), le joueur se verra remettre un nombre de jetons en général égal à la cave de départ (simple add on) ou au double (double add on).
Pour tout joueur encore en lice à ce stade du tournoi se pose l'intérêt de prendre cet add on.
La réponse à cette question est en général aisée: oui, il faut prendre l'add on.
Il y a notamment deux cas de figures dans lesquels l'add on est une évidence:

->L'add on permet d'obtenir un nombre de jetons très supérieur à la cave de départ.
Ne pas prendre cet add on va alors fortement obérer vos chances de remporter le tournoi puisque vos adversaires qui le prendront vont se retrouver avec un tapis très supérieur au vôtre, même si vous vous étiez mieux débrouillé qu'eux durant la période de rebuy.
->L'add on vous offre un rabais sur la valeur des jetons.
C'est ce qui arrive avec l'add on double.
Si au départ du tournoi vous aviez acheté une cave de T1.000 pour 10€, cette fois vous pouvez acheter T2.000 pour 10€.

Hormis ces cas de figure (Le double add on est très courant dans les tournois de NLHE car la période de rebuys voit apparaître de fortes disparités entre les tapis. En PLO il est moins courant), la règle est que vous prendrez l'add on sauf si votre tapis est particulièrement gros par rapport à la moyenne.
La raison en est que, plus votre tapis est important, plus la valeur marginale de chaque jeton supplémentaire est faible.
Le raisonnement en est simple.
Supposons que vous participez à un tournoi où 100 jetons sont en jeu et où la cagnotte est distribuée entre les trois premiers: 50, 30 et 20€.
La valeur du tapis de chaque joueur est le prix que lui attribuerait un un calculateur de deal.
Cette valeur est bien sûr une fonction croissante de la taille du tapis.
Si un joueur n'a qu'un seul jeton (T1) alors s'il double son tapis, il va voir sa chance de finir 1er, 2è ou 3è doubler. Donc la valeur de son tapis va doubler.
Pour ce petit tapis, un jeton supplémentaire a la même valeur que son unique jeton actuel.
A l'autre extrème, si un joueur a devant lui 50% des jetons de la table, alors un calculateur de deal. vous indiquera que son tapis vaut environ 39€ (en supposant que les 4 derniers adversaires ont chacun T10).
Avec 50% des jetons, ce joueur a en effet 50% de chances de remporter le tournoi, donc son tapis vaut au moins 50% de la première place, soit 25€. Mais comme en plus dans les 50% de cas où il ne remportera pas le tournoi il accrochera probablement une des deux places payées restantes, son tapis vaut forcément strictement plus que la moitié de la cagnotte.
Si maintenant ce joueur double son tapis (T50=>T100) alors il a tous les jetons de la table devant lui et remporte le tournoi. Son tapis vaut donc 50€.
Le tapis a doublé mais sa valeur a, elle, augmenté de façon moindre.
La valeur marginale de chaque jeton étant une fonction décroissante de la taille du tapis, et le coût de l'add étant par contre fixe, il existe un niveau de tapis au delà duquel il n'est plus intéressant de prendre l'add on (c'est une décision EV-).

Voyons sur un exemple ce que cela donne.
Récemment j'ai participé à un tournoi (live) dont la structure était la suivante:
NLHE
16 joueurs
Cave à 25€, T6.000.
2 recaves autorisées pendant 2heures (25€, T6.000) puis add on simple (25€, T6.000).
4 places payées: 40% 30% 20% 10%
A la fin de la période de rebuy, j'ai le deuxième tapis avec T20.000.
Le chipleader est sur l'autre table avec T24.000.
Sur les 15 autres joueurs, un seul ne prend pas l'add on (un débutant qui veut probablement contenir son budget). A ma surprise, le chip leader l'a pris (il donne l'image d'un bon joueur donc je me dis qu'il devrait savoir que dans sa situation l'add on n'est pas rentable).
D'autre part, les autres joueurs ne comprennent pas mon hésitation.
Pour ne pas me laisser distancer par le chip leader et ne pas attirer sur moi l'attention, je prends cet add on, avec l'intuition toutefois que cela me coûte de l'argent.
Le tournoi fini, de retour chez moi, j'ai réalisé quelques simulations pour savoir si mon intuition était bonne.
Après la période de rebuys, 10 recaves et 14 add ons ont été achetés (avant que je me décide à faire de même).
Il y avait donc 16+10+14=40 caves en jeu, soit 40x6.000=240.000 jetons et une cagnotte de 1.000€ (pas mal pour une partie entre potes!).
Tapis moyen après les 14 add ons= T15.000.
Voici les tapis (seuls les deux plus gros sont justes, pour le reste j'ai fait du remplissage pour obtenir T240.000 en tout):

J'ai utilisé mon calculateur de deal pour connaître l'EV de chaque tapis dans le cas où je ne prends pas d'add on et dans le cas où je le prends.
Par soustraction, j'obtiens le surplus de valeur apporté par mon add on:
EV(T20.000=>T26.000)=103,94 - 82,13 = 21,81€
Prendre cet add on m'a donc coûté 25 - 21,81 = 3,19€, soit environ -13% de ROI (Return On Investment).
Mon intuition était donc juste.
J'ai procédé de même avec chacun de mes adversaires (i.e je les mets dans la situation où les autres joueurs ont déjà décidé de prendre l'add on ou pas, et il reste à ce joueur à prendre sa décision).
J'obtiens les résultats suivants:
Remarque: la somme des EV n'est pas nulle et n'a aucune raison de l'être car les évênements dont on calcule l'EV ne sont pas complémentaires.
A vue de nez, ces chiffres laissent supposer que, dans le cas d'un add on simple, sans rabais par rapport à la cave de départ, il est intéressant de prendre l'add on <=> avec l'add on obtient un tapis qui ne dépasse pas la moyenne.

En refaisant ces calculs avec un double add on (T12.000, 25€), on trouve que l'add on est rentable pour chacun des 16 joueurs.
Pour le chip leader, EV(24.000=>36000, 25€)=+6,27€ et pour moi EV(20.000=>32.000, 25€)=+7€.
Seul un joueur disposant d'une énorme avance sur le tapis moyen aurait intérêt à ne pas prendre un double add on.
Dans ce tournoi amical, le nombre de rebuys a été très raisonnable, trop raisonnable pour qu'il soit apparu de très fortes disparités entre les tapis, auquel cas les chips leaders auraient eu intérêt à passer le double add on.